線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

ステップ 1

Find the inverse of $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}]$ .

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ステップ 1.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 1.2

Find the determinant.

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ステップ 1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

ステップ 1.2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 - 1 \cdot 2$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 - 2$

ステップ 1.2.2.2

$4$ から $2$ を引きます。

$2$

ステップ 1.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 1.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{2} [\begin{array}{c} 4 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.5

$\frac{1}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.6

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.6.1.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.6.1.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.6.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.6.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 1.6.5

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 2

Multiply both sides by the inverse of $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

ステップ 3

方程式を簡約します。

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ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

ステップ 3.1.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 & 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

ステップ 3.1.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

ステップ 3.2

Multiplying the identity matrix by any matrix $A$ is the matrix $A$ itself.

$x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

ステップ 3.3

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

ステップ 3.3.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$x = [\begin{array}{c} 2 \cdot 11 - 1 \cdot 17 \\ - \frac{1}{2} \cdot 11 + \frac{1}{2} \cdot 17 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$x = [\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例